"미분기하학"의 두 판 사이의 차이

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*  메트릭이 주어진 곡면<br>
 
*  메트릭이 주어진 곡면<br>
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** first fundamental form
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* 접속 (connection)과 공변미분(covariante derivative)
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<h5>제1기본형식(first fundamental form)과 면적소</h5>
  
 
* <math>ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math>
 
* <math>ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math>
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<h5>크리스토펠 기호</h5>
 
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<math>\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}</math>
 
<math>\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}</math>
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* 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
 
* 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
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*  가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 first fundamental form을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다<br><math>(EG-F^2)^2 K = \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)</math><br>
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*  가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다<br><math>(EG-F^2)^2 K = \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)</math><br>
 
* 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관한 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
 
* 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관한 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
 
* [[가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]] 항목 참조
 
* [[가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]] 항목 참조
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리]
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리]
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<h5>역사</h5>
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[3304643#|쌍곡기하학]]을 발견
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* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
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* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf]
  
 
 
 
 
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* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]<br>
 
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** 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
 
** 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[3304643#|쌍곡기하학]]을 발견
 
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* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
 
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
  
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<h5>메모</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=fundamental+form
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
 
* http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* [http://www.jstor.org/stable/2974765 Geometry and the Foucault Pendulum]<br>
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** John Oprea, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
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* [http://www.jstor.org/stable/2319962 Kleinian Transformation Geometry]<br>
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** Richard S. Millman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
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* [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections]<br>
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** R. S. Millman and Ann K. Stehney, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
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* [http://www.jstor.org/stable/2321093 From Triangles to Manifolds]<br>
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** Shing-Shen Chern, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
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* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br>
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** Abe Shenitzer, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
  
 
 
 
 
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** Jeffrey R. Weeks
 
** Jeffrey R. Weeks
 
** 일반 독자를 위한 책
 
** 일반 독자를 위한 책
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<h5>관련논문</h5>
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2974765 Geometry and the Foucault Pendulum]<br>
 
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** John Oprea
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2319962 Kleinian Transformation Geometry]<br>
 
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** Richard S. Millman
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections]<br>
 
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** R. S. Millman and Ann K. Stehney
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2321093 From Triangles to Manifolds]<br>
 
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** Shing-Shen Chern
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br>
 
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** Abe Shenitzer
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
 

2010년 1월 11일 (월) 00:58 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
  • 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
  • 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식을 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

 

다루는 대상
  • 곡선
  • 곡면

 

중요한 개념 및 정리

 

 

곡면을 이해하는 두 가지 관점
  • 3차원 공간에 놓인 곡면
  • 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
  • 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨

 

 

제1기본형식(first fundamental form)과 면적소
  • \(ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
  • \(dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\)

 

 

크리스토펠 기호

 

\(\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}\)

 

가우스곡률과 가우스의 정리
  • 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
  • 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
    \((EG-F^2)^2 K = \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)\)
  • 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관한 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
  • 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조

 

 

접속(connection)
  • 방향미분의 일반화

 

 

곡면의 예

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

 

 

역사

 

 

메모

 

 

다른 과목과의 관련성

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
  • 미분다양체론(differentiable manifolds)
    • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
    • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
  • 리만기하학(Riemannian geometry)
    • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
  • 리군과 Symmetric spaces의 분류

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

표준적인 교과서
  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.

 

 

추천도서 및 보조교재
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