"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 4월 19일 (목) 07:57 판

electromagnetic field strength
\(F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)\)
다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1\)
맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다

\(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)

\((A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})\)
\(\phi\) 스칼라 포텐셜
\(\mathbf{A}\) 벡터 포테 is the vector potential.
in covariant formulation, this is a 1-form
\(A=A_{0}dx^{0}+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)

맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
\(\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(\mathrm{d}\, {*\bold{F}}=\bold{J}\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \))

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">1-form</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">four 벡터 포텐셜 1-form</h5>
+* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math> <br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포테  is the vector potential.<br>
+*  in covariant formulation, this is a '''1-form'''<br><math>A=A_{0}dx^{0}+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math><br>