"벡터의 외적(cross product)"의 두 판 사이의 차이
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** <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ** <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ||
** 라그랑지 항등식 <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math><br> | ** 라그랑지 항등식 <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math><br> | ||
| − | * 이 세 조건을 만족시키는 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다.<br> | + | * (정리) 이 세 조건을 만족시키는 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다.<br> (증명)<br>'''[Massey1983]''', '''[Walsh1967]''' 참조<br> 외적의 공리를 만족시키는 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 이항연산 x 가 존재한다고 하자. <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.<br><math>(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})</math><br> 그러면 다음의 두 사실을 확인할 수 있다.<br><math>(1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}</math><br><math>|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2</math><br> composition 대수에 대한 후르비츠의 정리([[1,2,4,8 과 1,3,7]] 항목 참조) 로부터 <math>n=1,3,7</math> 을 얻는다. ■<br> |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product | * http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product | ||
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2010년 9월 16일 (목) 14:37 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 삼차원 유클리드 공간의 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)에 정의된 이항연산
- 두 벡터에 수직이며, 크기가 \(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta\)인 벡터
- 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨
정의
- 단위벡터 \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)\)
- 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\)
성질
- 겹선형성 (bilinearity)
- \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\)
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식
\(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)
- 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)
\(\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\) - 스칼라 삼중곱
\(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\)
사원수와의 관계
- 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
- 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)로 두어 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
- \((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
- 여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적
- 해밀턴의 사원수(quarternions) 항목 참조
외적의 일반화
- 외적의 공리
- bilinearity
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식 \(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)
- bilinearity
- (정리) 이 세 조건을 만족시키는 \(\mathbb{R}^{n}\) 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, \(n=1,3,7\) 이 성립한다.
(증명)
[Massey1983], [Walsh1967] 참조
외적의 공리를 만족시키는 \(\mathbb{R}^{n}\) 위에 정의된 이항연산 x 가 존재한다고 하자. \(\mathbb{R}^{n+1}\) 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.
\((a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
그러면 다음의 두 사실을 확인할 수 있다.
\((1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}\)
\(|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2\)
composition 대수에 대한 후르비츠의 정리(1,2,4,8 과 1,3,7 항목 참조) 로부터 \(n=1,3,7\) 을 얻는다. ■
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/외적
- http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련논문
- [Massey1983]Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
- [Walsh1967]The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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