"산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산"의 두 판 사이의 차이
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<math>\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...</math> | <math>\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...</math> | ||
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<h5>참고할만한 자료</h5> | <h5>참고할만한 자료</h5> | ||
| − | * Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean<br> | + | * Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean ([[1939326/attachments/1341646|pdf]])<br> |
** E. Salamin | ** E. Salamin | ||
** Mathematics of Computation 30(1976) 565-570 | ** Mathematics of Computation 30(1976) 565-570 | ||
| − | * The arithmetic-geometric mean of Gauss [[1939326/attachments/1144114| | + | * The arithmetic-geometric mean of Gauss ([[1939326/attachments/1144114|pdf]])<br> |
** D.A. Cox | ** D.A. Cox | ||
** UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330 | ** UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330 | ||
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** Dario Castellanos | ** Dario Castellanos | ||
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 61, No. 2 (Apr., 1988), pp. 67-98 | ** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 61, No. 2 (Apr., 1988), pp. 67-98 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2031275 The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions]<br> | ||
| + | ** J. M. Borwein and P. B. Borwein | ||
| + | ** <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=siamreview SIAM Review]</cite>, Vol. 26, No. 3 (Jul., 1984), pp. 351-366 | ||
2009년 3월 28일 (토) 10:18 판
간단한 소개
- 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
- lemniscate 적분 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음
\(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots=AGM(1,\sqrt{2})\)
\(\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...\)
AGM을 이용한 변형된 알고리즘
[/pages/1939326/attachments/1332480 piagm.JPG]
- 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.
\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)
- 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
- 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
위키링크
참고할만한 자료
- Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean (pdf)
- E. Salamin
- Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
- The arithmetic-geometric mean of Gauss (pdf)
- D.A. Cox
- UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330
- Gauss and the arithmetic-geometric mean
- D.A. Cox
- Notices Amer. Math. Soc. 32(2) (1985) 147-151
- Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
- Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and D. H. Bailey
- The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 201-219
- Recent Calculations of π: The Gauss-Salamin Algorithm
- Nick Lord
- The Mathematical Gazette, Vol. 76, No. 476 (Jul., 1992), pp. 231-242
- The Ubiquitous π
- Dario Castellanos
- Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 2 (Apr., 1988), pp. 67-98
- The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions
- J. M. Borwein and P. B. Borwein
- SIAM Review, Vol. 26, No. 3 (Jul., 1984), pp. 351-366