"산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
 
<h5>간단한 소개</h5>
  
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* 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
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* AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
 
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]] 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음
 
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]] 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음
  
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<math>\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...</math>
 
<math>\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...</math>
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<h5>타원적분에 대한 르장드르 항등식</h5>
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For <math>\phi\!</math> and <math>\theta\!</math> such that <math>\phi+\theta={1 \over 2}\pi\!</math> Legendre proved the identity:
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: <math>K(\sin \phi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \phi) - K(\sin \phi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!</math>
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<h5>타원적분과 A</h5>
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<h5>가우스-살라민 알고리즘</h5>
 
<h5>가우스-살라민 알고리즘</h5>
  
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<h5>변형된 알고리즘</h5>
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<h5>또다른 알고리즘</h5>
  
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Salamin-Brent_algorithm
  
 
 
 
 
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** E. Salamin
 
** E. Salamin
 
** Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
 
** Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
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* [http://wwwmaths.anu.edu.au/%7Ebrent/pub/pub028.html Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation]<br>
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** R. P. Brent
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** Analytic Computational Complexity (edited by J. F. Traub), Academic Press, New York, 1975, 151–176
 
*  The arithmetic-geometric mean of Gauss ([[1939326/attachments/1144114|pdf]])<br>
 
*  The arithmetic-geometric mean of Gauss ([[1939326/attachments/1144114|pdf]])<br>
 
** D.A. Cox
 
** D.A. Cox

2009년 3월 28일 (토) 10:53 판

간단한 소개
  • AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
  • lemniscate 적분 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음

\(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots=AGM(1,\sqrt{2})\)

\(\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식

For \(\phi\!\) and \(\theta\!\) such that \(\phi+\theta={1 \over 2}\pi\!\) Legendre proved the identity:

 

\[K(\sin \phi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \phi) - K(\sin \phi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!\]

 

 

 

타원적분과 A

 

 

 

가우스-살라민 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]

 

 

 

또다른 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1332480 piagm.JPG]

 

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
  •  
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

 

위키링크

 

참고할만한 자료
  • Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean (pdf)
    • E. Salamin
    • Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
  • Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation
    • R. P. Brent
    • Analytic Computational Complexity (edited by J. F. Traub), Academic Press, New York, 1975, 151–176
  • The arithmetic-geometric mean of Gauss (pdf)
    • D.A. Cox
    • UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330
  • Gauss and the arithmetic-geometric mean
    • D.A. Cox
    • Notices Amer. Math. Soc. 32(2) (1985) 147-151
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