"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이
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+ | <math>\alpha = \cos \theta + i \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다. | ||
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+ | 또한 <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로, <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다. | ||
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+ | 따라서 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math> | ||
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2012년 4월 19일 (목) 20:10 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
- 다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)
증명
서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.
\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.
또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.
따라서 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\)
역사
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