"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이

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** <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
 
** <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
 
** <math>\sin \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
 
** <math>\sin \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
** <math>\tan \theta\in \mathbb{Q}</math>이면, <math>\ㅅ무 \theta = 0,\pm1</math>
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** <math>\tan \theta\in \mathbb{Q}</math>이면, <math>\tan \theta = 0,\pm1</math>
  
 
 
 
 
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<h5>증명<math>\theta=m\pi/n</math>인 경우</h5>
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<h5>증명</h5>
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서로 소인 정수 m,n에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자.
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<math>\alpha = \cos \theta + i  \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다.
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또한 <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로,  <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]  <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다.
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따라서 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math>
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2012년 4월 19일 (목) 20:10 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

  • 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
  • 다음이 성립한다
    • \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

 

 

증명

서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로,  \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial)  \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

따라서 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\)

 

 

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