"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이
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| − | * | + | * http://arxiv.org/abs/0904.0826 |
| − | + | * '''[Motose2007]'''Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818. | |
| − | + | * Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 52 (9) (November 1): 507–508. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2304540 10.2307/2304540].<br> | |
| − | Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540. | + | * Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 69 (8) (October 1): 789–793. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2310783 10.2307/2310783].<br> |
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| − | * Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.<br> | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://www.ams.org/mathscinet | * http://www.ams.org/mathscinet | ||
| − | * http://dx.doi.org/ | + | * http://dx.doi.org/10.2307/2310783 |
2012년 4월 19일 (목) 20:44 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
- 다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)
증명
[Motose2007]의 증명
서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.
\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.
또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.
따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.
\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각
\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와
\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■
역사
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- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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수학용어번역
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- The Online Encyclopaedia of Mathematics
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- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- http://arxiv.org/abs/0904.0826
- [Motose2007]Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818.
- Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.
- Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.2307/2310783