"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이

2012년 4월 19일 (목) 20:50 판

유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

[Motose2007]의 증명

서로 소인 정수 m,n에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

또한 \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로,

따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.

\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각

\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와

\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■

@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
 또한 <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로,  <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]  <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다.
+<math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로,
 따라서  <math>\varphi(n)\leq 2</math> 가 성립하고 <math>n=1,2,3,4,6</math> 만이 가능하다.