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<h5>개요</h5>
 
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* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
 
* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
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'''[Motose2007]'''의 증명
 
'''[Motose2007]'''의 증명
  
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서로 소인 정수 m,n에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자.
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서로 소인 정수 m,n>0에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자.
  
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<math>\alpha = \cos \theta + i  \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다.
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<math>\alpha = \cos \theta + i  \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로,  <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]  <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다.
  
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또한 <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로,  <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]  <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다.
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<math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, <math>\alpha</math> 의 최소다항식이다.
  
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<math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로,
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한편 <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다.
  
 
따라서  <math>\varphi(n)\leq 2</math> 가 성립하고 <math>n=1,2,3,4,6</math> 만이 가능하다.
 
따라서  <math>\varphi(n)\leq 2</math> 가 성립하고 <math>n=1,2,3,4,6</math> 만이 가능하다.

2012년 4월 20일 (금) 05:43 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

개요
  • 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
  • 다음이 성립한다
    • \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
    • \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

 

 

증명

[Motose2007]의 증명

서로 소인 정수 m,n>0에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha^{n}=1\) 이므로,  \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial)  \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, \(\alpha\) 의 최소다항식이다.

한편 \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

따라서  \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.

\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각

\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와

\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■

 

 

 

역사

 

 

 

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