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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 확장 <math>R</math>이 존재하며 | (1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 확장 <math>R</math>이 존재하며 | ||
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2010년 1월 31일 (일) 19:21 판
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개요
증명의 개요
- We start from the field of symmetric functions.
- Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
- The proof is consisted of two steps.
- radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
- the behavior of radicals under permutations
오차방정식
- \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)
- \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
- \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)
정리 1.
이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.
(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 확장 \(R\)이 존재하며
(2) v는 다음과 같은 형태로 표현가능하다.
\(v=v_0+u+v_2u^2+v_3u^3+v_4u^4\)
여기서 \(v_0,v_2,v_3,v_4,u^5 \in R\)
예)
- 2차 방정식의 근의 공식
[[2차 방정식의 근의 공식|]]
\(ax^2+bx+c=0\)
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
정리 2.
solvable in radicals
Monodromy proof
Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).
For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.
These are the branch points and determines the Riemann surfaces.
Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.
(This is a little different from the Galois group.)
We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.
regular proof
\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
It has two complex and 3 real roots.
This implies the Galois group is \(S_5\).
일반적인 n차 방정식
일반적인 방정식
\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)
\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
- http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
관련논문
- Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
- Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations (pdf)
- Elliptic functions and elliptic integrals[1]
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation (pdf)
- Variations on the theme of solvability by radicals
- A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
- On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
- Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505