5차방정식과 근의 공식

 

 

 

 

증명의 개요

• We start from the field of symmetric functions.
  
• Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  
• The proof is consisted of two steps.
  
• radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  
• the behavior of radicals under permutations
  

 

 

 

 

radical 체확장

• 기본체 \(F=R_0\)
  
• 적당한 원소 \(a_0 \in F\)와 자연수 \(n_0\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  
• 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  
• 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 radical 체확장이라 한다
  

 

 

 

오차방정식

• 방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어졌다고 가정하자.
• 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

 

• \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  
• \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)
  

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

예)

• 2차 방정식의 근의 공식
  [[2차 방정식의 근의 공식|]]
  \(ax^2+bx+c=0\)
  \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
   
  

• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
  

 

 

정리 2. (theorem of natural irrationalities)

 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

• 2차 방정식의 근의 공식
  [[2차 방정식의 근의 공식|]]
  \(ax^2+bx+c=0\) 의 해를 \(x_1,x_2\)라 하면, \(\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2\) 이다. 
   
  
• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
  
  

 

정리 3.

위에서 얻어진 체확장 \(R\), 즉 \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

 

아벨정리의 증명.

 

 

 

 

• 갈루아 이론
  
• 갈루아 이론 (피)
  

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

(This is a little different from the Galois group.)

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 추상대수학
• 오차방정식과 정이십면체

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 추상대수학의 토픽들
•  

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension

 

 

링크

• 
  
• http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
  

 

 

관련논문

• Abel's Proof
  
  • Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
• Galois' Theory of Algebraic Equations
  
  • Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations (pdf)
• Elliptic functions and elliptic integrals[1]
  
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation (pdf)
• Variations on the theme of solvability by radicals
  
  • A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,     Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
• On solvability and unsolvability of equations in explicit form
  
  • A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
• Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
  
  • Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505