"역함수를 이용한 치환적분"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 22일 (토) 20:02 판

\(\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\)

여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)

문제

\(\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\)

\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\)

따라서,

\(\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx=(x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\)

\(\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\)

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+<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math><br>
+여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math>
+문제
+<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math>
+<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math><br>
+따라서, <br>
+<math>\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx=(x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>
+<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>