"연속 방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 6월 11일 (월) 03:35 판

Q : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
\(\rho\) : charge density (density of some abstract fluid)
- \(\rho\) 가 상수인 경우, fluid를 incompressible이라 한다
\(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) : current density (velocity x charge density)
V : arbitrary three dimensional region bounded by the closed surface S

V 내부에서 Q가 줄어드는 비율
\(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV\)
Q-current 의 곡면 S에 대한 flux
\(\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
local conservation 은 두 양이 같음을 의미함
\(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,
\(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV\)
임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다
\(\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0\)
이를 연속방정식이라 부른다
\(\rho=j_0\) 로 두어, \(\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)\) 에 대하여 \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\) 의 형태로 쓰기도 한다

V : \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다
\(Q(t)=\int_V \rho \,dV\) 는 일정하다
또는
\(\frac{dQ}{dt}=0\)

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \) 에 divergence 연산자를 적용하여,

\(\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\)

\( \nabla \cdot \mathbf{B} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\)

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 <h5>맥스웰 방정식과 연속방정식</h5>
+* [[맥스웰 방정식]]
+<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여,
+<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math>
+<math> \nabla \cdot \mathbf{B} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math>