"오일러 베타적분(베타함수)"의 두 판 사이의 차이
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<math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> | <math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> | ||
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<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> | <math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> | ||
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<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}</math> | <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}</math> | ||
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* [[삼각함수]]<br> | * [[삼각함수]]<br> | ||
| + | * [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스 곱]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">무리함수의 적분과 감마함수</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">타원적분과의 관계</h5> |
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>L=2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>L=2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br> | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | ||
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid= | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_integral | * http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_integral | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral | ||
| − | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4) | + | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] |
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br> | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br> | ||
** http://dlmf.nist.gov/5/12/ | ** http://dlmf.nist.gov/5/12/ | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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2009년 11월 13일 (금) 16:30 판
간단한 소개
\(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\)
성질
\(B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta\)
\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
(증명)
삼각함수의 적분과 감마함수
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)
\(t^2=\cos \theta\) 로 치환하여 증명.
무리함수의 적분과 감마함수
\(n>0\)에 대하여,
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\)
이 성립한다
타원적분과의 관계
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분
\(L=2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
베타적분과 초월수
(정리)
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 라 하자. \(B(a,b)\) 는 초월수이다. 즉
\(B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)
는 초월수이다.
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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