"왓슨 변환(Watson transform)"의 두 판 사이의 차이
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| + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값</h5> | ||
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| + | * [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 항목에서 가져옴<br> | ||
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| + | <math>\zeta(4)</math> 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. <math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz</math> | ||
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| + | <math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지금이<math>R</math> 인 원 | ||
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| + | 이때 <math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다. | ||
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| + | 유수정리를 사용하자. | ||
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| + | 0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면, <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math> | ||
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| + | 한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는 <math>\frac{1}{k^{4}}</math>로 주어진다. | ||
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| + | <math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조) | ||
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| + | 를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다. | ||
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| + | 그러므로 모든 유수의 합은 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> | ||
2011년 7월 9일 (토) 08:36 판
\(\frac{1}{2 \pi i}\int g(z) \cot (\pi z) \, dz=\sum g(n)\)
http://radio.tkk.fi/en/studies/courses/S-26.300_2005/slides3.pdf
응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값
- 정수에서의 리만제타함수의 값 항목에서 가져옴
\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)
\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원
이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
유수정리를 사용하자.
0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면, \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)
한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는 \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다.
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)
를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.
그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)