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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5> | ||
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| − | * 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br> 여기서 <math>\sum</math> 는 D에 있는 정수점 위의 합<br> | + | * 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br> 여기서 <math>\sum</math> 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합<br> |
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* <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br> | * <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br> | ||
| − | * 반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, <math>0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br> | + | * 반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, 특히 <math>0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br> |
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| − | <math>g(z)=1 | + | <math>g(z)=\frac{1}{z^4+a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자. |
| − | <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz= | + | <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^2}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4+a^2}</math> |
우변의 <math>-\pi^{4}/45</math>는<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0에서의 유수(residue)이다. | 우변의 <math>-\pi^{4}/45</math>는<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0에서의 유수(residue)이다. | ||
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<math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>. ■ | <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>. ■ | ||
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| + | * [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 에 응용할 수 있다<br> | ||
2011년 7월 19일 (화) 10:25 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 유수정리(residue theorem) 의 응용
- 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
\(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합
복소함수 코탄젠트의 성질
- \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
- 반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, 특히 \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))
응용
\(g(z)=\frac{1}{z^4+a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
\(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^2}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4+a^2}\)
우변의 \(-\pi^{4}/45\)는\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0에서의 유수(residue)이다.
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)
를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.
반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
\(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\). ■
- 정수에서의 리만제타함수의 값 에 응용할 수 있다
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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