"자코비 세타함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 2일 (목) 12:31 판

세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\)

\(\theta_2^4+\theta_4^4=\theta_3^4\)

\(\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})\)

\(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면,

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\)

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

\(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

\(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2}{\theta_3^2}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)

\(\theta_3(q)+\theta_4(q)=2\theta_3(q^4)\)

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

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 <h5>세타함수와 타원적분</h5>
-<math>k=k(q)=\frac{\theta_2^2}{\theta_3^2}</math>
+<math>k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}</math>
 <math>k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2}{\theta_3^2}</math>
+<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">세타함수와 AGM iteration</h5>
 <math>\theta_3(q)+\theta_4(q)=2\theta_3(q^4)</math>
+<math>\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)</math>
+<math>\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)</math>
-<math>\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)</math>
+(정리)
-<math>\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)</math>
+주어진 <math>0<k<1</math> 에 대하여, <math>k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}</math>를 만족시키는 <math>q</math>가 존재한다. 이 때,