"전자기 텐서와 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 각 성분에 대해 풀어쓰면 다음이 얻어진다<br><math>\partial_{\mu}F^{\mu 0}=\mu_0 j^{0}</math> 는 전기장에 대한 가우스 법칙 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>과 같다<br><math>(\partial_{\mu}F^{\mu 1},\partial_{\mu}F^{\mu 2},\partial_{\mu}F^{\mu 3})=(\mu_0 j^{1},\mu_0 j^{2},\mu_0 j^{3})</math>은 앙페르-패러데이 법칙<br> | ||
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| + | <math>\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J</math> | ||
2012년 6월 12일 (화) 14:35 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
기호
- 4-current \( j^{\nu}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\)
- \( \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \)
- http://en.wikipedia.org/wiki/4-gradient
정의
- 포벡터 포텐셜
- \(A_{\alpha} = \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\), \(\alpha=0,1,2,3\)
- 전자기 텐서의 성분을 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\) 로 정의한다
- 예
- \(F_{01}=\partial_{0} A_{1} - \partial_{1} A_{0}=-\frac{1}{c}\frac{\partial A_{x}}{\partial t} -\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{E_{x}}{c}\)
- \(F_{12}=\partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1}=-\frac{\partial A_{y}}{\partial x} -\frac{\partial A_{x}}{\partial y}=-B_{z}\)
- 예
- 전자기 텐서의 성분을 다음과 같은 행렬로 표현하자
\(\left( \begin{array}{cccc} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{10} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{20} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{30} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{FrrFy} \right)\)
- 전자기 텐서의 성분은 다음과 같다
\(F_{\mu\nu} =\left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ -\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ -\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ -\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{array} \right)\)
\(F^{\mu\nu} =\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{array} \right)\)
전자기 텐서와 전자기 포텐셜
\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & {E_x} & {E_y} & {E_z} \\ -{E_x} & 0 & -{B_z} & {B_y} \\ -{E_y} & {B_z} & 0 & -{B_x} \\ -{E_z} & -{B_y} & {B_x} & 0 \end{array} \right)\)
\(=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{\partial {A_x}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial x} & -\frac{\partial {A_y}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial y} & -\frac{\partial {A_z}}{\partial t}-\frac{\partial \phi }{\partial z} \\ \frac{\partial {A_x}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial x} & 0 & \frac{\partial {A_x}}{\partial y}-\frac{\partial {A_y}}{\partial x} & \frac{\partial {A_x}}{\partial z}-\frac{\partial {A_z}}{\partial x} \\ \frac{\partial {A_y}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial y} & \frac{\partial {A_y}}{\partial x}-\frac{\partial {A_x}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial {A_y}}{\partial z}-\frac{\partial {A_z}}{\partial y} \\ \frac{\partial {A_z}}{\partial t}+\frac{\partial \phi }{\partial z} & \frac{\partial {A_z}}{\partial x}-\frac{\partial {A_x}}{\partial z} & \frac{\partial {A_z}}{\partial y}-\frac{\partial {A_y}}{\partial z} & 0 \end{array} \right)\)
맥스웰 방정식
- 맥스웰 방정식은 다음 방정식으로 표현된다
\(\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\mu_0 j^{\nu}\) - 각 성분에 대해 풀어쓰면 다음이 얻어진다
\(\partial_{\mu}F^{\mu 0}=\mu_0 j^{0}\) 는 전기장에 대한 가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\)과 같다
\((\partial_{\mu}F^{\mu 1},\partial_{\mu}F^{\mu 2},\partial_{\mu}F^{\mu 3})=(\mu_0 j^{1},\mu_0 j^{2},\mu_0 j^{3})\)은 앙페르-패러데이 법칙
\(\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
\(\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J\)
미분형식
역사
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/전자기_텐서
- http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor
- http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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