"접속 (connection)"의 두 판 사이의 차이

2011년 4월 15일 (금) 06:10 판

방향미분의 일반화
벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다

벡터장 \({\mathbf X},{\mathbf Y}\)와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다
\(\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\)

frame \(\{X_i\}\)에 대하여, 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다
\(\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\)
\(A_{ij}= A_{i}^{j}\) 로 두었다
여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴
\(\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\)
이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다

리만다양체에 정의되는 접속
frame \(\mathbf{e}=\{e_i\}\)
접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
\(\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} A_{jk}(e_i) e_k\)
즉 \( A_{jk}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다
\(\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k\)

\(\nabla_X E_i = \omega_i^j(X) E_j \)

http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884

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−	~~<math>\Omega_i^j =\frac{1}{2} R_{kli}^j \phi^k \wedge \phi^l </math>~~
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−	~~<math>\Omega_i^j = d\omega_i^j - \omega_i^k \wedge \omega_k^j </math>~~