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j-invariant 와의 관계==
(정리)
\((r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0\)
또는 \(j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\)
여기서, \(j(\tau)\) 는 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
(증명)
정이십면체 뫼비우스 변환군5차방정식과 정이십면체에서 얻은 다음 결과들을 사용하자.
\(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
\(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
\(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
\(1728V^5-E^2-F^3=0\)
\(J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\)는 정이십면체 뫼비우스 변환군 \(G_{60}=\langle S,T\rangle\)에 의해 불변이다.
따라서
\(J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\) 는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다.
즉, \(g\in\Gamma\)에 대하여 \(J(r(g\tau))=J(r(\tau))\)가 성립한다.
한편 \(\tau\in\mathbb{H}\) 일때 \(V(r(\tau))\neq0 \)이므로, \(J(r(\tau))\)는 \(\tau\in\mathbb{H}\)에 대하여 해석함수가 된다.
\(J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\) 로부터 \(J(r(\tau))\)는 \(\tau=i\infty\)에서 단순pole을 가지며, \(J(r(i))=1728\), \(J(r(\rho))=0\) 임도 알 수 있다.
따라서 \(J(r(\tau))\)는 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)이다. ■
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| − | ==정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량 | + | ==정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량== |
* [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] | * [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] | ||
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* edge points<br><math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. <br><math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math><br> | * edge points<br><math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. <br><math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">j-invariant 와의 관계 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">j-invariant 와의 관계== |
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* http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html | * http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html | ||
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* [[5차방정식과 정이십면체]] | * [[5차방정식과 정이십면체]] | ||
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* 단어사전<br> | * 단어사전<br> | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:59 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 클라인의 오차방정식과 정이십면체 이론과 관계
- \(\Gamma(5)\) 에 대한 모듈라 함수론
- 로저스-라마누잔 연분수 가 등장
정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량
- 정이십면체 뫼비우스 변환군
- vertex points
- \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
- face points
- \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
- edge points
- \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
- syzygy relation
\(1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\) 또는 \(1728V^5-E^2-F^3=0\)
로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli
- edge points
\(r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\)는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다.
\(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\) - face points
\(r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\) 는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다.
\(r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\) - vertex points
\(5\not | d\) 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다. - 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다