초기하급수(Hypergeometric series)

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• 초기하급수(Hypergeometric series)

 

 

개

• 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
  \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
  

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

 

정의

계수의 비가 유리함수이므로 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 주어지는 경우,

\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

Pochhammer 기호 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)

를 사용하면 좀더 간결한 다음과 같은 표현을 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)

 

가우스의 초기하급수

• 가우스의 초기하급수에서 다룸

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

 

예

• 지수함수
  \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
  \(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
  \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
  
• \((1-z)^{-a}=F(a,1;1;z)\)
• \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)

• 타원적분
  \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
  \(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)
  

 

 

Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

special values

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

 

 

재미있는 사실

• Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

관련된 항목들

• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
• 자코비 세타함수
• 분할수
• Schwarz-Christoffel mappings
• 수학사연표

 

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

관련도서 및 추천도서

• Conformal Mapping
  
  • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련논문

• Euler's "De Partitio Numerorum"
  
  • George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573. 
• Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
  
  • R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
• Applications of Basic Hypergeometric Functions
  
  •  
    
  • George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=초기하
    
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

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