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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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* 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함 | * 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함 | ||
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* 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우<br><math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우<br> | * 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우<br><math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우<br> | ||
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* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸 | * [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸 | ||
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* 지수함수<br><math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math><br> | * 지수함수<br><math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math><br> | ||
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* http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html | * http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html | ||
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| − | ==k-balanced | + | ==k-balanced== |
* http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html | * http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html | ||
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| − | ==Clausen 항등식 | + | ==Clausen 항등식== |
<math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math> | <math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math> | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
* http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf | * http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf | ||
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| − | ==재미있는 사실 | + | ==재미있는 사실== |
* Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨 | * Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨 | ||
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] | * [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==관련도서 및 추천도서 | + | ==관련도서 및 추천도서== |
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br> | * [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br> | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"]<br> | * [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:05 판
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개요
- 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
- 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
- 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
- q-analogue 에 대해서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조
정의
- 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우
\(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
- 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다
\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)
\(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
- 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)
- 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다
\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)
- 여기서 Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다
\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)
오일러-가우스 초기하급수
- 오일러-가우스 초기하함수에서 다룸
\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)
예
- 지수함수
\(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
\(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
- 이항급수
\((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)\)
- \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
- 타원적분
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
\(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)
well-poised
k-balanced
Clausen 항등식
\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)
\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)
메모
재미있는 사실
- Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
관련된 항목들
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
- 자코비 세타함수
- Schwarz-Christoffel mappings
- 란덴변환(Landen's transformation)
- 오차방정식과 정이십면체
- 슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)
수학용어번역==
사전 형태의 자료==
관련도서 및 추천도서
- Conformal Mapping
- Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Euler's "De Partitio Numerorum"
- George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
- Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
- R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
- Applications of Basic Hypergeometric Functions
-
- George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
수학용어번역==
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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\(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)
\(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)
\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)
\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)
\(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
\(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
\((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)\)
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
\(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)
사전 형태의 자료==
관련도서 및 추천도서
- Conformal Mapping
- Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Euler's "De Partitio Numerorum"
- George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
- Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
- R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
- Applications of Basic Hypergeometric Functions
-
- George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
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