"타원곡선"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 3일 (목) 11:14 판

\(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3\)

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

chord-tangent method
유리수해에 대한 Mordell theorem
- 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
- \(\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{T}\)

\(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)위의 점 \(P=(x,y)\)에 대하여,
\(2P\)의 \(x\)좌표는\(\frac{x^4-2bx^2-8cx-4ac+b^2}{4y^2}\) 로 주어진다

the only possible torsion groups for elliptic curves over Q are the cyclic groups of order 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 [sic -- 11 is not possible] and
\(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}\) for n=1,2,3,4
예) \(E_n : y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\)임

\(y^2=x^3-x\)
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유리수해
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
주기
\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
\(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(s=1\)에서의 디리클레 L-함수의 도함수 값
\(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)
Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
적분쇼
\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\)
타원적분의 singular value k
\(k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)
자코비 세타함수
\(\theta_3(i)=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)

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 * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br><math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})</math><br>
 * [[타원적분의 singular value k]]<br><math>k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}</math><br>
+* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]<br><math> j(\sqrt{-1})=1728=12^3</math><br>
+*   <br>
 * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math><br>
 * [[자코비 세타함수]]<br><math>\theta_3(i)=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}</math><br>
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 * [[가우스의 class number one 문제]]<br>
 * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]]<br>
+* [[periods]]<br>
+* [[무리수와 초월수]]<br>