"타원곡선 y²=x³-x"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
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| + | * [[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5> |
* 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해<br> | * 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해<br> | ||
| + | * square lattice<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">판별식과 conductor</h5> |
* 판별식 <math>\Delta=64</math><br> | * 판별식 <math>\Delta=64</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">실수해</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">유리수해</h5> |
* <math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}</math><br> | * <math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">periods</h5> |
| − | * [[타원곡선의 주기]] | + | * [[타원곡선의 주기]] 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자 |
| − | + | * 주기는 다음과 같이 주어진다<br><math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br><math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math><br> | |
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]<br><math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br><math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]<br><math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br><math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br> | ||
* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] 의 special values 부분과 비교 | * [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] 의 special values 부분과 비교 | ||
| + | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx] | ||
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| − | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">유한체에서의 해의 개수</h5> | |
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| − | <h5 style=" | ||
* 유한체에서의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math><br><math>a_p=p+1-M_p</math><br> | * 유한체에서의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math><br><math>a_p=p+1-M_p</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">모듈라 형식</h5> |
* 모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br><math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]<br> | * 모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br><math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">재미있는 사실</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">역사</h5> |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">메모</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련된 항목들</h5> |
* [[타니야마-시무라 추측(정리)]]<br> | * [[타니야마-시무라 추측(정리)]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5> |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">사전 형태의 자료</h5> |
* <br> | * <br> | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/ | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련논문</h5> |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련도서 및 추천도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련기사</h5> |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">블로그</h5> |
* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
2010년 11월 5일 (금) 04:23 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
- square lattice
판별식과 conductor
- 판별식 \(\Delta=64\)
- conductor \(N=32\)
실수해
[/pages/2061314/attachments/2299029 ]
유리수해
- \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
- rank 는 0
periods
- 타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
- 주기는 다음과 같이 주어진다
\(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\) - 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
\(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\) - 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx
유한체에서의 해의 개수
- 유한체에서의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
\(a_p=p+1-M_p\) - 아래 표 참조
제타함수
- 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
- 로컬제타함수
\(p\neq 2\) 인 경우
\(Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\)
\(p= 2\)인 경우
\(Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\)
모듈라 형식
- 모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)
\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수 - 표
\( \begin{array}{ccc} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \)
- 타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
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사전 형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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