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* 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 [[슈뢰딩거 방정식]] 의 변형 | * 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 [[슈뢰딩거 방정식]] 의 변형 | ||
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* 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다<br><math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math><br> | * 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다<br><math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math><br> | ||
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* 단어사전<br> | * 단어사전<br> | ||
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* Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623 | * Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623 | ||
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:12 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식
- 다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 맥스웰 방정식 참조
- 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다
\(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)
파울리 방정식
- \(\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\) 는 파울리 행렬 로 이루어진 벡터
- 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 를 \(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})\) 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다
\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \)
- 스핀 1/2 인 경우 성분을 나누어 다음과 같이 쓸 수 있다
\(i\hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix}=\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right]\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix}\)
스핀과 자기장의 상호작용
- 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다
\(\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\)
- 이를 유도하기 위해서는 다음과 같은 결과가 필요하다
- \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\)
(증명)
일반적으로 \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})\) 이 성립한다.
연산자로서 \((\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi\)
(\(\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}\)와 \(\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}\) 가 사용되었다)
즉 \((\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}\)
따라서 \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\) ■
역사
메모
- Hladik Spinors in Physics 4.2.2.
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역==
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_equation
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 맥스웰 방정식 참조
\(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)
\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \)
\(i\hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix}=\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right]\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix}\)
\(\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\)
(증명)
일반적으로 \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})\) 이 성립한다.
연산자로서 \((\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi\)
(\(\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}\)와 \(\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}\) 가 사용되었다)
즉 \((\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}\)
따라서 \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\) ■
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_equation
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/