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* <math>\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}</math> 를 만족하는 유일한 <math>\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_{\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)</math> 가 존재한다<br>
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*  성질<br>
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** <math>\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}\sigma^{-1}</math><br>
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** <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})</math> 에서의 conjugacy class를 정의<br>
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** <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})</math>가 아벨군인 경우, <math>\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}</math> 는 <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})</math>의 원소<br>
  
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K/Q : 갈루아 체확장
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p : unramified prime
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<h5>원분체에서의 프로베니우스 원소</h5>
  
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<math>\mathfrak{p}\mid p</math>
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* <math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자.
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* <math>p\nmid n</math> 이면, p는 unramified
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* <math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p</math>
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* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]
  
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<math>\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}</math> 를 만족하는 유일한 <math>\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_{\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)</math> 가 존재한다
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성질
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<math>\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}\sigma^{-1}</math>
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<h5>이차체확장에서의 프로베니우스 원소</h5>
  
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* <math>K = \mathbb Q(\sqrt{d})</math>
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* p
  
 
 
 
 

2012년 7월 18일 (수) 19:35 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 정수계수 다항식이 mod p 로 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있음
  • class field theory 에서 아틴 사상을 정의하는데 사용

 

 

정의
  • K : 수체
  • K/Q : 갈루아 체확장
  • p : unramified prime
  • \(\mathfrak{p}\mid p\)
  • \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_{\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다
  • 성질
    • \(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
    • \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
    • \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소

 

 

원분체에서의 프로베니우스 원소

 

 

이차체확장에서의 프로베니우스 원소
  • \(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
  • p

 

 

 

 

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