"미분형식을 통한 곡면론"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 09:42 판

미분기하학
메트릭 텐서
(orthonomal) 프레임 \(\{e_1,e_2\}\)
코프레임 \(\{\omega_1,\omega_2\}\)
접속형식(1-form)\[\omega_{12}=-\omega_{21}\]
곡률형식(2-form)\[d\omega_{12}\]
카르탄 구조 방정식\[d\omega_{1}=\omega_{12}\wedge \omega_{2}\]\[d\omega_{2}=-\omega_{12}\wedge \omega_{1}\]\[d\omega_{12}(p)=-K(p)(\omega_{1}\wedge \omega_{2})(p)\]
곡률형식에서의 \(K(p)\) 를 가우스곡률이라 부른다

\(e_1=f_{u}/\sqrt{E}\), \(e_2=f_{v}/\sqrt{G}\) 를 orthonormal frame 이라 하자
\(\omega_1=\sqrt{E}du\), \(\omega_2=\sqrt{G}dv\)
\(\omega_{12}=-\frac{(\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{G}}du+\frac{(\sqrt{G})_{u}}{\sqrt{E}}dv\)

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 * (orthonomal) 프레임 <math>\{e_1,e_2\}</math>
 * 코프레임 <math>\{\omega_1,\omega_2\}</math>
-*  접속형식(1-form)<br><math>\omega_{12}=-\omega_{21}</math><br>
+*  접속형식(1-form):<math>\omega_{12}=-\omega_{21}</math><br>
-*  곡률형식(2-form)<br><math>d\omega_{12}</math><br>
+*  곡률형식(2-form):<math>d\omega_{12}</math><br>
-*  카르탄 구조 방정식<br><math>d\omega_{1}=\omega_{12}\wedge \omega_{2}</math><br><math>d\omega_{2}=-\omega_{12}\wedge \omega_{1}</math><br><math>d\omega_{12}(p)=-K(p)(\omega_{1}\wedge \omega_{2})(p)</math><br>
+*  카르탄 구조 방정식:<math>d\omega_{1}=\omega_{12}\wedge \omega_{2}</math>:<math>d\omega_{2}=-\omega_{12}\wedge \omega_{1}</math>:<math>d\omega_{12}(p)=-K(p)(\omega_{1}\wedge \omega_{2})(p)</math><br>
 * 곡률형식에서의 <math>K(p)</math> 를 가우스곡률이라 부른다