미분형식을 통한 곡면론

수학노트
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개요

  • 미분기하학
  • 메트릭 텐서
  • (orthonomal) 프레임 <math>\{e_1,e_2\}</math>
  • 코프레임 <math>\{\omega_1,\omega_2\}</math>
  • 접속형식(1-form):<math>\omega_{12}=-\omega_{21}</math>
  • 곡률형식(2-form):<math>d\omega_{12}</math>
  • 카르탄 구조 방정식:<math>d\omega_{1}=\omega_{12}\wedge \omega_{2}</math>:<math>d\omega_{2}=-\omega_{12}\wedge \omega_{1}</math>:<math>d\omega_{12}(p)=-K(p)(\omega_{1}\wedge \omega_{2})(p)</math>
  • 곡률형식에서의 <math>K(p)</math> 를 가우스곡률이라 부른다



예

  • <math>e_1=f_{u}/\sqrt{E}</math>, <math>e_2=f_{v}/\sqrt{G}</math> 를 orthonormal frame 이라 하자
  • <math>\omega_1=\sqrt{E}du</math>, <math>\omega_2=\sqrt{G}dv</math>
  • <math>\omega_{12}=-\frac{(\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{G}}du+\frac{(\sqrt{G})_{u}}{\sqrt{E}}dv</math>



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