"원분체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 [[데데킨트 제타함수]]:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br>
 
* [[디리클레 L-함수]] 의 곱으로 분해할 수 있다
 
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* [[디리클레 캐릭터]] 의 conductor 개념이 중요
 
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 경우 <math>d_K=-3</math><br>
 
* <math>K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 경우 <math>d_K=-3</math><br>
 
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** <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math>
 
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2013년 1월 12일 (토) 10:04 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

데데킨트 제타함수의 분해

  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)
  • modulo n 인 디리클레 캐릭터 들의 집합 \(\hat{G}\)을 생각하자
  • 각 디리클레 캐릭터\(\chi\in \hat{G}\) 는 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character \(\chi_{f}\)로부터 얻어진다.

(정리)

\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)\)

(따름정리)

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

 

 

예

  • \(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우 \(d_K=-3\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\]
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우 \(d_K=-4\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)\[\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\]
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\]

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

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