"근의 공식과 라그랑지 resolvent"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 14일 (월) 14:12 판

방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
\(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
\(u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\), \(v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\) 라 두면, 다음이 성립한다\[u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\]\[uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\]
따라서 u,v는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
\(x+ y+z=0\), \(x+\omega y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}\), \(x+\omega^2 y+\omega z=\sqrt[3]{v}\) 이므로, x,y,z 를 \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다

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