"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==개요== | ==개요== | ||
| − | |||
* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제. | * 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제. | ||
* 다음이 성립한다<br> | * 다음이 성립한다<br> | ||
| 68번째 줄: | 59번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[삼각함수의 값]] | * [[삼각함수의 값]] | ||
| − | + | * [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] | |
| − | + | * [[오일러의 totient 함수]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2013년 1월 28일 (월) 14:09 판
개요
- 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
- 다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)
증명
[Motose2007]의 증명
서로 소인 정수 m,n>0에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.
\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.
\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, \(\alpha\) 의 최소다항식이다.
한편 \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.
따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.
\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각
\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와
\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- http://arxiv.org/abs/0904.0826
- [Motose2007]Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818.
- Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.
- Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.2307/2310783