"데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 2일 (토) 04:11 판

수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]
예
- \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 리만제타함수를 얻음
전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다
\(s=1\) 에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]
\(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다\[ \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\]

리만제타함수 의 함수방정식\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\]\[\xi(s) = \xi(1 - s)\]
리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉 \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립\[\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\]\[\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\]

각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의\[\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\]
제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]
더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]

F : totally real \([F: \mathbb{Q}]=n\)이라 하자
적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)에 대하여\[\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}\], \(m>0\)
http://planetmath.org/SiegelKlingenTheorem.html

\([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\]
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수\[a\sim b\] 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함

H. M. Stark, "Galois theory, algebraic number theory and zeta functions" ,in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer
H. M. Stark, The analytic theory of algebraic numbers http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183537391
Matilde N. Lalin, Hyperbolic volumes and zeta values An introduction

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-==== special values ====
+== special values ==
-==Klingen-Siegel 정리==
+===Klingen-Siegel 정리===
 *  F : totally real  <math>[F: \mathbb{Q}]=n</math>이라 하자<br> 적당한 유리수 <math>r(m)\in \mathbb{Q}</math>에 대하여:<math>\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}</math>, <math>m>0</math><br>
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-==Zagier, Bloch, Suslin==
+===Zagier, Bloch, Suslin===
 * <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math>:<math>\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}</math><br> 여기서 <math>\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)</math> 는 Bloch group <math>B(K)\otimes \mathbb{Q}</math>의 Q-basis<br> D는 [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|Bloch-Wigner dilogarithm]] 함수:<math>a\sim b</math> 는 <math>a/b\in\mathbb{Q}</math> 를 의미함<br>