"번사이드 보조정리"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 9일 (토) 04:48 판

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|\]

$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}$$

궤도 $C\in X/G$에 대하여, $|G_x|, x\in C$는 $x$에 의존하지 않으며, 따라서 $|G_C|:=|G_x|$는 잘 정의된다. 이 때, $|C|=|G|/|G_C|$이 성립한다
$|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|$로부터 다음을 얻는다

$$|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}$$

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 ==개요==
+* $G$ : 유한군
+* $X$ : $G$가 작용하는 유한집합
+* $X^g=\{x\in X| gx=x\}$
+* 다음이 성립한다
+:<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|</math>
+==응용==
+===3차원 유한회전군===
+* [[3차원 유한회전군의 분류]] 항목 참조
+* $g\neq 1$은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여
+$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}$$
+* 궤도 $C\in X/G$에 대하여, $|G_x|, x\in C$는 $x$에 의존하지 않으며, 따라서 $|G_C|:=|G_x|$는 잘 정의된다. 이 때, $|C|=|G|/|G_C|$이 성립한다
+* $|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|$로부터 다음을 얻는다
+$$|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}$$
-<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|</math>
 ==관련된 고교수학 또는 대학수학==
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-==관련된 다른 주제들==
+==관련된 항목들==