"역함수를 이용한 치환적분"의 두 판 사이의 차이
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* 역함수를 이용한 치환적분법 | * 역함수를 이용한 치환적분법 | ||
| − | + | :<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math> | |
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여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math> | 여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math> | ||
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| − | + | * 다음 부정적분 | |
| − | <math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math> | + | :<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math> |
| − | + | * $G$는 다음과 같다 | |
<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math> | <math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math> | ||
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따라서, | 따라서, | ||
| − | + | :<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math> | |
| − | <math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math> | ||
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2013년 2월 11일 (월) 08:16 판
개요
- 역함수를 이용한 치환적분법
\[\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\] 여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)
예
- 다음 부정적분
\[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\]
- $G$는 다음과 같다
\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\) 따라서, \[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\]