"근의 공식과 라그랑지 resolvent"의 두 판 사이의 차이
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* <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다<br> | * <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다<br> | ||
| − | * <math>u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3</math> | + | * $u$와 $v$를 다음과 같이 정의하자 |
| − | * 따라서 u, | + | :<math>u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3</math> |
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| + | * 따라서 $u,v$는 방정식 <math>x^2+27q x-27 p^3=0</math>의 해가 되며, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다 | ||
| + | $$ \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right. | ||
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| + | * $x,y,z$는 다음 선형연립방정식의 해이므로, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다 | ||
| + | $$ \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. $$ | ||
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** [http://ko.wiktionary.org/wiki/%EC%97%AD%ED%95%B5 http://ko.wiktionary.org/wiki/역핵] | ** [http://ko.wiktionary.org/wiki/%EC%97%AD%ED%95%B5 http://ko.wiktionary.org/wiki/역핵] | ||
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2013년 4월 1일 (월) 08:11 판
개요
- 라그랑지 resolvent 의 아이디어를 사용하여 3차 방정식의 근의 공식 을 유도할 수 있음
3차 방정식의 근의 공식
- 방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
- \(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
- $u$와 $v$를 다음과 같이 정의하자
\[u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\] \[v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\]
- 다음이 성립한다
\[u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\]\[uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\]
- 따라서 $u,v$는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
$$ \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right. $$
- $x,y,z$는 다음 선형연립방정식의 해이므로, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다
$$ \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. $$
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- resolvent - 대한수학회 수학용어집
- 단어사전
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