"타원의 넓이"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 넓이는 $\pi a b$로 주어진다 | ||
==일변수 미적분학의 응용== | ==일변수 미적분학의 응용== | ||
| − | <math>A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx</math> 의 계산 | + | * 적분 |
| + | :<math>A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \,dx</math> | ||
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| + | * [[삼각치환]]을 이용할 수 있다 | ||
==다변수 미적분학에서의 치환적분== | ==다변수 미적분학에서의 치환적분== | ||
| − | + | * 이중적분 | |
| − | <math>A=\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} | + | :<math>A=\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \,dxdy</math> |
<math>x=aX</math>, <math>y=bY</math> 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다. | <math>x=aX</math>, <math>y=bY</math> 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다. | ||
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따라서 면적은 <math>\pi a b</math>. ■ | 따라서 면적은 <math>\pi a b</math>. ■ | ||
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| − | 타원의 매개화 <math>\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t), 0\le t \le 2\pi </math>를 이용하면, <math>xy'-yx'=ab \cos^2 t+ab \sin^2 t=ab</math> 를 얻고, 따라서 <math>A=\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx=\pi ab</math> | + | 타원의 매개화 <math>\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t), \quad 0\le t \le 2\pi </math>를 이용하면, <math>xy'-yx'=ab \cos^2 t+ab \sin^2 t=ab</math> 를 얻고, 따라서 |
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* [[타원]] | * [[타원]] | ||
* [[타원 둘레의 길이]] | * [[타원 둘레의 길이]] | ||
| + | * [[타원내의 격자점 개수]] | ||
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| + | [[분류:미적분학]] | ||
2013년 4월 4일 (목) 02:09 판
개요
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\) 로 주어진 영역의 넓이를 구하는 문제
- 넓이는 $\pi a b$로 주어진다
일변수 미적분학의 응용
- 적분
\[A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \,dx\] 의 계산
- 삼각치환을 이용할 수 있다
다변수 미적분학에서의 치환적분
- 이중적분
\[A=\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \,dxdy\]
\(x=aX\), \(y=bY\) 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다. \[A=ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY\] 따라서 면적은 \(\pi a b\). ■
그린 정리의 응용
그린 정리에서 얻어진 공식 \[A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx\] 를 이용할 수 있다.
타원의 매개화 \(\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t), \quad 0\le t \le 2\pi \)를 이용하면, \(xy'-yx'=ab \cos^2 t+ab \sin^2 t=ab\) 를 얻고, 따라서 \[A=\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx=\pi ab\] ■