"교차비(cross ratio)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
1번째 줄: 1번째 줄:
−
==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
−
 
−
* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
 
==교차비==
 
==교차비==
  
22번째 줄: 14번째 줄:
  
 
==대칭군과 교차비==
 
==대칭군과 교차비==
−
 
 
* [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>\{1,2,3,4\}</math>에 작용한다
 
* [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>\{1,2,3,4\}</math>에 작용한다
−
* 이 때 조화비는 다음과 같이 변한다
+
* 조화비의 isotopy group은 다음과 같이 주어진다
 +
$$
 +
\left\{\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1 & 2 & 3 & 4 \\
 +
1 & 2 & 3 & 4
 +
\end{array}
 +
\right),\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1 & 2 & 3 & 4 \\
 +
2 & 1 & 4 & 3
 +
\end{array}
 +
\right),\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1 & 2 & 3 & 4 \\
 +
3 & 4 & 1 & 2
 +
\end{array}
 +
\right),\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1 & 2 & 3 & 4 \\
 +
4 & 3 & 2 & 1
 +
\end{array}
 +
\right)\right\}
 +
$$
 +
즉 $(z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)$
 +
* 조화비는 $S_4$의 작용에 의해 다음과 같이 변화한다
 
:<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda</math>
 
:<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda</math>
 
:<math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math>
 
:<math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math>
39번째 줄: 55번째 줄:
  
 
==사영기하학과 교차비==
 
==사영기하학과 교차비==
−
 
+
* [[뫼비우스 변환]]이 네 점,  <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> 를  <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math>로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.
 +
:<math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}</math>
 +
즉 $ad-bc\neq 0$일 때,
 +
$$
 +
\frac{\left(z_1-z_3\right) \left(z_2-z_4\right)}{\left(z_2-z_3\right) \left(z_1-z_4\right)}=
 +
\frac{\left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}{\left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}
 +
$$
 +
* 교차비는 사영기하학의 불변량이다
 
[[파일:3259985-afigure006-riemann65.jpg]]
 
[[파일:3259985-afigure006-riemann65.jpg]]
  
51번째 줄: 74번째 줄:
  
 
* [[뫼비우스 변환군과 기하학]]
 
* [[뫼비우스 변환군과 기하학]]
−
* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]
+
* [[타원 모듈라 λ-함수]]
−
* [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|Bloch-Wigner dilogarithm]]
+
* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]
 
* [[원근법과 수학]]
 
* [[원근법과 수학]]
  
62번째 줄: 85번째 줄:
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxY2Y4OWEwNWMtMGU0Zi00NTEwLTlkYjctZWE3NDE0YTA2YmM2&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxY2Y4OWEwNWMtMGU0Zi00NTEwLTlkYjctZWE3NDE0YTA2YmM2&sort=name&layout=list&num=50
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
* http://mathworld.wolfram.com/CrossRatio.html
−
* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
77번째 줄: 92번째 줄:
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
−
 
+
* {{학술용어집|url=cross}}
−
* cross ratio
+
** cross ratio
−
* 비조화비, 복비
+
** 비조화비, 복비
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=cross
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
−
 
 
 
 
 
 
  
91번째 줄: 101번째 줄:
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/cross_ratio
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/cross_ratio
−
* http://mathworld.wolfram.com/CrossRatio.html
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
==관련논문==
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=perspective+drawing+projective
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 

2013년 4월 14일 (일) 06:36 판

교차비

  • 사영기하학의 기본개념
  • 네 복소수 \(z_1,z_2,z_3,z_4\)에 대하여 다음과 같이 정의됨.

\[(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}\]

  • \(z_4=\infty\) 인 경우

\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]

 

 

 

대칭군과 교차비

$$ \left\{\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right)\right\} $$ 즉 $(z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)$

  • 조화비는 $S_4$의 작용에 의해 다음과 같이 변화한다

\[(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\] \[(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}\] \[(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}\] \[(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\] \[(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}\] \[(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}\]

  • 즉 대칭군에 의해 다음 값을 가질 수 있다

\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\]

 

 

사영기하학과 교차비

  • 뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\[\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\] 즉 $ad-bc\neq 0$일 때, $$ \frac{\left(z_1-z_3\right) \left(z_2-z_4\right)}{\left(z_2-z_3\right) \left(z_1-z_4\right)}= \frac{\left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}{\left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)} $$

  • 교차비는 사영기하학의 불변량이다

3259985-afigure006-riemann65.jpg

 

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

수학용어번역

  • cross - 대한수학회 수학용어집
    • cross ratio
    • 비조화비, 복비

 

사전 형태의 자료

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=교차비(cross_ratio)&oldid=27615"