"교대 다중선형형식"의 두 판 사이의 차이

2013년 6월 3일 (월) 07:19 판

개요

행렬식은 교대 겹선형 형식의 예이다
$V$ : $\mathbb F$에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
다음 조건을 만족하는 겹선형 형식(multilinear form) $f:V^k\to \mathbb F$를 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

$$ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k $$

$A^k(V)$는 V에 정의된 교대 겹선형 k-형식의 집합
$A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)$

antisymmetrization 연산자

$\operatorname{Alt}$ 연산자
겹선형 형식 $\omega$로부터 교대 겹선형 형식 $\operatorname{Alt}(\omega)$을 얻는 방법

$$ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) $$

wedge product

$A(V)$에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
$A(V)$는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
두 겹선형 형식 $\omega, \eta$에 대하여, 겹선형 형식 $\omega\otimes\eta$을 다음과 같이 정의하자

$$ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) $$

$\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)$에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

$$ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) $$

따라서

$$ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} $$

(p,q)-shuffle 을 이용한 정의

$$ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) $$ 여기서 $S(p,q)$는 (p,q)-셔플(shuffle)

교대 겹선형 형식과 외대수의 쌍대 공간

$\Lambda^k(V)$의 쌍대 공간을 교대 겹선형 형식을 통하여 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]

수학용어번역

alternating - 대한수학회 수학용어집
form - 대한수학회 수학용어집

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 * $\operatorname{Alt}$ 연산자
 * 겹선형 형식 $\omega$로부터 교대 겹선형 형식 $\operatorname{Alt}(\omega)$을 얻는 방법
-:<math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math>
+$$
+\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)})
+$$
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 * $A(V)$에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
 * $A(V)$는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
-* 정의
+* 두 겹선형 형식 $\omega, \eta$에 대하여, 겹선형 형식 $\omega\otimes\eta$을 다음과 같이 정의하자
-:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math>
+$$
-여기서
+(\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m})
-$\omega\otimes\eta$는 다음과 같이 정의된 겹선형 형식
+$$
+* $\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)$에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의
 $$
-(\omega\otimes\eta)(x_1,\ldots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \ldots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \ldots, x_{k+m})
+\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)
+$$
+* 따라서
+$$
+\begin{align}
+(\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\
+&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})
+\end{align}
 $$
 * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의
-:<math>(\omega \wedge \eta)(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math>
+$$
+(\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})
+$$
+여기서 $S(p,q)$는 [[(p,q)-셔플(shuffle)]]