교대 다중선형형식

개요

• 행렬식은 교대 겹선형 형식의 예이다
• $V$ : $\mathbb F$에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
• 다음 조건을 만족하는 겹선형 형식(multilinear form) $f:V^k\to \mathbb F$를 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

$$ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k $$

• \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 겹선형 k-형식의 집합
• \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)

antisymmetrization 연산자

• $\operatorname{Alt}$ 연산자
• 겹선형 형식 $\omega$로부터 교대 겹선형 형식 $\operatorname{Alt}(\omega)$을 얻는 방법

$$ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) $$

wedge product

• $A(V)$에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
• $A(V)$는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
• 두 겹선형 형식 $\omega, \eta$에 대하여, 겹선형 형식 $\omega\otimes\eta$을 다음과 같이 정의하자

$$ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) $$

• $\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)$에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

$$ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) $$

• 따라서

$$ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} $$

• (p,q)-shuffle 을 이용한 정의

$$ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) $$ 여기서 $S(p,q)$는 (p,q)-셔플(shuffle)

교대 겹선형 형식과 외대수의 쌍대 공간

• $\Lambda^k(V)$의 쌍대 공간을 교대 겹선형 형식을 통하여 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]

관련된 항목들

• 행렬식
• 교대다항식(alternating polynomial)

수학용어번역

• alternating - 대한수학회 수학용어집
• form - 대한수학회 수학용어집

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWkxWXzktYWphR2s/edit

관련도서

• Spivak, Michael. 1971. Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus. Westview Press.