"16차원 짝수 자기쌍대 격자"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 주어진 정수 $g\geq 1$와 $n$차원 격자 $L$에 대한 지겔 | + | * 주어진 정수 $g\geq 1$와 $n$차원 격자 $L$에 대한 [[격자의 지겔 세타 급수|지겔 세타 급수]] |
* 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 다음과 같이 정의 | * 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 다음과 같이 정의 | ||
| − | $$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\ | + | $$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\operatorname{tr}}((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$ |
* $\Gamma_g:={\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]] | * $\Gamma_g:={\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]] | ||
===g가 1인 경우=== | ===g가 1인 경우=== | ||
2014년 7월 11일 (금) 08:22 판
개요
- $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자
격자의 지겔 세타함수
- 주어진 정수 $g\geq 1$와 $n$차원 격자 $L$에 대한 지겔 세타 급수
- 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 다음과 같이 정의
$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\operatorname{tr}}((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
- $\Gamma_g:={\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 지겔 모듈라 형식
g가 1인 경우
- $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
$$ E_4^2(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+37500480 q^5+\cdots $$
g가 4인 경우
- $\Theta^{(4)}_{E_8^2}$, $\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}$는 $\Gamma_4$에 대한 지겔 모듈라 형식
- $\Theta^{(4)}_{E_8^2}-\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}$는 weight 8인 지겔 cusp 형식으로 Schottky 형식이라 불림
메모
- The Schottky problem is the problem of characterizing Jacobians among all abelian varieties.
- In 1888, for genus four, Schottky gave a homogeneous polynomial in the theta constants which vanishes on $\mathcal{H}_4$ precisely at the Jacobian points
- a proof of this was finally published by Igusa in 1981
- Piazza, Francesco Dalla, Davide Girola, and Sergio L. Cacciatori. “Classical Theta Constants vs. Lattice Theta Series, and Super String Partition Functions.” Journal of High Energy Physics 2010, no. 11 (November 1, 2010): 1–24. doi:10.1007/JHEP11(2010)082.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Poor, Cris, Nathan C. Ryan, and David S. Yuen. 2009. “LIFTING PUZZLES IN DEGREE FOUR.” Bulletin of the Australian Mathematical Society 80 (01): 65–82. doi:10.1017/S0004972708001317.
- Poor, Cris. 1996. “Schottky’s Form and the Hyperelliptic Locus.” Proceedings of the American Mathematical Society 124 (7): 1987–91. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6.
- Poor, Cris. "The hyperelliptic locus." Duke Mathematical Journal 76.3 (1994): 809-884. http://faculty.fordham.edu/poor/files/Hyper93.pdf
- Igusa, Jun-Ichi. “On the Irreducibility of Schottky’s Divisor.” Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics 28, no. 3 (February 20, 1982): 531–45.
- Igusa, Jun-ichi. 1981. “Schottky’s Invariant and Quadratic Forms.” In E. B. Christoffel, edited by P. L. Butzer and F. Fehér, 352–62. Birkhäuser Basel. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-5452-8_24.