"포흐하머 (Pochhammer) 기호"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 01:54 판

\[(x)_m=\overbrace{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\]

\[x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\]

\[x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\]

\[\Delta x^{\underline{k}} = k\ x^{\underline{k-1}}\]

\[D x^k = k\ x^{k-1}\]

예)

원소가 k개인 집합에서 n개인 집합으로 가는 단사함수의 개수

\(n\in\mathbb{N}\) 인 경우\[{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\]

\(n\in\mathbb{Z}\) 인 경우\[{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}=\frac{(1-a)_q^{\infty}}{(1-aq^n)_q^{\infty}}\]

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 ===상승 팩토리얼===
 * 정의
-$$(x)_m=\overbrace{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+:<math>(x)_m=\overbrace{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}</math>
 * 다음의 기호를 사용하기도 한다
-$$x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+:<math>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}</math>
 ===하강 팩토리얼===
 * 정의
-$$x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+:<math>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}</math>
 * [[계차수열]]은 다음과 같이 주어진다
 :<math>\Delta x^{\underline{k}} = k\ x^{\underline{k-1}}</math>
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 ==캐츠(Kac)의 기호==
-* <math>n\in\mathbb{N}</math> 인 경우:<math>{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math><br>
+* <math>n\in\mathbb{N}</math> 인 경우:<math>{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math>
-* <math>n\in\mathbb{Z}</math> 인 경우:<math>{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}=\frac{(1-a)_q^{\infty}}{(1-aq^n)_q^{\infty}}</math><br>
+* <math>n\in\mathbb{Z}</math> 인 경우:<math>{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}=\frac{(1-a)_q^{\infty}}{(1-aq^n)_q^{\infty}}</math>