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* 내적 <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>은 다음과 같은 성질들을 만족시키는 함수 <math>\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}</math>이다. | * 내적 <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>은 다음과 같은 성질들을 만족시키는 함수 <math>\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}</math>이다. | ||
| − | * bilinearity (sesquilinearity) | + | * bilinearity (sesquilinearity) |
** <math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle</math> | ** <math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle</math> | ||
** <math>\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle</math> | ** <math>\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle</math> | ||
| − | * 대칭성(symmetricity) | + | * 대칭성(symmetricity) |
** <math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}</math> | ** <math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}</math> | ||
| − | * 양정부호(positive definiteness) | + | * 양정부호(positive definiteness) |
** <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math>이고 <math>\langle x,x\rangle = 0</math>이면 <math>x=0</math> | ** <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math>이고 <math>\langle x,x\rangle = 0</math>이면 <math>x=0</math> | ||
* 실벡터공간의 내적은 positive definite symmetric bilinear form | * 실벡터공간의 내적은 positive definite symmetric bilinear form | ||
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* 구간 <math>[a,b]</math>에서 정의된 연속함수들의 집합은 벡터공간을 이룬다 | * 구간 <math>[a,b]</math>에서 정의된 연속함수들의 집합은 벡터공간을 이룬다 | ||
| − | * 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^{b}f(x)g(x)\,dx</math | + | * 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^{b}f(x)g(x)\,dx</math> |
2020년 11월 13일 (금) 06:05 판
개요
- 2,3차원 유클리드 공간에서 정의된 벡터의 내적의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한 개념
- 실수 또는 복소수 위에 정의된 벡터공간에서 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 개념을 제공
정의
- 내적 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)은 다음과 같은 성질들을 만족시키는 함수 \(\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}\)이다.
- bilinearity (sesquilinearity)
- \(\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle\)
- \(\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle\)
- 대칭성(symmetricity)
- \(\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}\)
- 양정부호(positive definiteness)
- \(\langle x,x\rangle \geq 0\)이고 \(\langle x,x\rangle = 0\)이면 \(x=0\)
- 실벡터공간의 내적은 positive definite symmetric bilinear form
내적공간의 예
- 구간 \([a,b]\)에서 정의된 연속함수들의 집합은 벡터공간을 이룬다
- 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다\[\langle f,g\rangle=\int_a^{b}f(x)g(x)\,dx\]
메모
- Let \((V,\langle −,−\rangle)\) be a finite-dimensional real inner product space
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