상수계수 이계미분방정식의 응용사례 - 물리학

개요

상수계수 이계미분방정식은 물리학이나 공학 등 여러 학문에서 자연을 기술하는 단순한 모델에서 자주 등장한다. 이 문서에서는 상수계수 이계미분방정식이 물리학에서 등장하는 대표적인 사례들을 알아보고 이들의 해법과 그 물리학적 의미를 제시한다.

 

1. 단순조화진동자
   1-(1) 단순조화진동자의 정의
        단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 \(k\)), 용수철에 달릴 질량이 \(m\) 인 추로 이루어진 물리계를 의미한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 \(m\) 이 달려있어야 한다.
   
   1-(2) 단순조화진동자의 운동방정식 수립과정 및 풀이
        이제 \(m\) 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 \(m\)(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 \(x\) 라 하자. (편의상 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.
   \(m \ddot{x} = -kx\) (식 1)
        식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.
   \(\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0\) (식 2)
   일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 \(a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0\) 으로 나타낸다면 \(a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}\) 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다.
   수학적인 엄밀한 해법은 다른 노트에서도 쉽게 찾아볼 수 있을 것이므로, 이 문서에서는 직관적인 수준에서 추론과 예상을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 소개하고자 한다. 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 \(\ddot{x} = - \frac{k}{m} x\) 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 일 때는 항상 \(\ddot{x}<0\) 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. 따라서 우리는 이를 힌트로 삼아 이와 같은 성질을 만족하는 함수들 가운데에서 이 미분방정식의 해를 찾을 수 있을 것임을 알 수 있다. 또한 이 미분방정식의 해가 가져야 할 미분가능성에 대해 생각해보면 이 방정식의 해는 smooth 해야 할 것이다. 다행스럽게도 초등실함수들 가운데 이와 같은 성질을 만족하는 함수가 존재한다! 바로 삼각함수이다. 따라서 우리는 삼각함수를 시험해로 삼아 시행착오를 거치면(계수들을 조정하는 과정을 거치면) 해를 얻게 된다.
   \(x(t) = x(0) \cos{ \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \delta \right)}\)
2. 단진자의 운동
3. 저항력이 있을 때의 조화진동
4. 전기진동

 

관련된 항목들

• 단진자의 주기와 타원적분
• 상수계수 이계 선형미분방정식