"라플라스 변환"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* [[푸리에 변환]]의 변형 | * [[푸리에 변환]]의 변형 | ||
* 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환 | * 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환 | ||
| − | * 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside 이다 |
* operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구 | * operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==정의== | ==정의== | ||
| 14번째 줄: | 14번째 줄: | ||
* 함수 <math>f(t)</math>에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math> | * 함수 <math>f(t)</math>에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==성질== | ==성질== | ||
| 22번째 줄: | 22번째 줄: | ||
* 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다:<math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math> | * 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다:<math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math> | ||
| − | + | ||
(정리) | (정리) | ||
| − | <math>f</math>가 유계이고, | + | <math>f</math>가 유계이고, <math>t\geq 0</math>에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자. |
| − | <math>\mathfrak{R}(s)\geq 0</math>에서 정의된 | + | <math>\mathfrak{R}(s)\geq 0</math>에서 정의된 함수 <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math> 가 <math>\mathfrak{R}(s)\geq 0</math>에서 해석함수로 확장되면, |
| − | <math>\int_0^{\infty} f(t) \,dt</math>이 존재하고, | + | <math>\int_0^{\infty} f(t) \,dt</math>이 존재하고, <math>F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt</math>가 성립한다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
==예== | ==예== | ||
| 44번째 줄: | 44번째 줄: | ||
<math>\mathcal{L}\left\{t e^t\right\} = \frac{1}{(s-1)^2}</math> | <math>\mathcal{L}\left\{t e^t\right\} = \frac{1}{(s-1)^2}</math> | ||
| − | + | ||
<math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^2 e^t}{2!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^3}</math> | <math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^2 e^t}{2!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^3}</math> | ||
| − | + | ||
<math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^3 e^t}{3!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^4}</math> | <math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^3 e^t}{3!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^4}</math> | ||
| 54번째 줄: | 54번째 줄: | ||
... | ... | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==상수계수 미분방정식에의 응용== | ==상수계수 미분방정식에의 응용== | ||
| 65번째 줄: | 65번째 줄: | ||
* <math>y(t)=e^t-2t e^t+\frac{t^2}{2}e^t</math> 는 주어진 미분방정식의 해가 된다 | * <math>y(t)=e^t-2t e^t+\frac{t^2}{2}e^t</math> 는 주어진 미분방정식의 해가 된다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==멜린변환과의 관계== | ==멜린변환과의 관계== | ||
| − | * [[푸리에 변환]] | + | * [[푸리에 변환]] 항목 참조:<math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math> |
| − | * | + | * 멜린변환에서 <math>x=e^{-t}</math>로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다:<math>\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==역사== | ==역사== | ||
| 87번째 줄: | 87번째 줄: | ||
* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==메모== | ==메모== | ||
| 95번째 줄: | 95번째 줄: | ||
* [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | * [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| 103번째 줄: | 103번째 줄: | ||
* [[푸리에 변환]] | * [[푸리에 변환]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| 113번째 줄: | 113번째 줄: | ||
| − | + | ||
| − | ==사전 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | ||
2020년 12월 28일 (월) 02:16 판
개요
- 푸리에 변환의 변형
- 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환
- 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside 이다
- operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구
정의
- 함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함\[F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\]
성질
- 함수 \(f\)에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다\[\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)\]
(정리)
\(f\)가 유계이고, \(t\geq 0\)에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자.
\(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 정의된 함수 \(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\) 가 \(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 해석함수로 확장되면,
\(\int_0^{\infty} f(t) \,dt\)이 존재하고, \(F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt\)가 성립한다.
예
\(\left(\frac{t^ne^t}{n!}\right)'=\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}+\frac{t^ne^t}{n!}\) 로부터 \(\mathcal{L}\left\{\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right\} = (s-1)\cdot\mathcal{L} \left\{ \frac{t^ne^t}{n!}\right\}\)
\(\mathcal{L}\left\{e^t\right\} = \frac{1}{s-1}\)
\(\mathcal{L}\left\{t e^t\right\} = \frac{1}{(s-1)^2}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^2 e^t}{2!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^3}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^3 e^t}{3!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^4}\)
...
상수계수 미분방정식에의 응용
- \(y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t\)
- 양변에 라플라스 변환을 취하면,\[s^2 Y(s)+Y(s)-2 (s Y(s)-1)-s+1=\frac{1}{s-1}\], 여기서 \(Y(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}\).
- \(Y(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{2}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^3}\)
- \(y(t)=e^t-2t e^t+\frac{t^2}{2}e^t\) 는 주어진 미분방정식의 해가 된다
멜린변환과의 관계
- 푸리에 변환 항목 참조\[\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\]
- 멜린변환에서 \(x=e^{-t}\)로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다\[\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt\]
역사
- 오일러
- 라플라스
- 헤비사이드
- 수학사 연표
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스