"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이
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* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math> | * 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math> | ||
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* 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다:<math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math> | * 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다:<math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math> | ||
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* 전자기 텐서의 dual:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>:<math>\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t</math> | * 전자기 텐서의 dual:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>:<math>\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t</math> | ||
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** dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math> | ** dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math> | ||
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==맥스웰 방정식의 미분형식 표현== | ==맥스웰 방정식의 미분형식 표현== | ||
| − | * [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>):<math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>, | + | * [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>):<math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>) |
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* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.7828&rep=rep1&type=pdf Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms] | * [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.7828&rep=rep1&type=pdf Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms] | ||
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2020년 12월 28일 (월) 03:22 판
개요
- 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
- 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
포벡터 포텐셜 1-form
- 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
- \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
- 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
전자기 텐서 2-form
- 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)\[F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\]
- 전자기 텐서와 맥스웰 방정식 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음\[F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\]\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]
- \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
- 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다\[F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\]
Hodge star 연산자
- \(\star dx dy =-dzdt\)
- \(\star dy dz =-dxdt\)
- \(\star dz dx =-dydt\)
- \(\star dx dt =dydz\)
- \(\star dy dt =dzdx\)
- \(\star dz dt=dxdy\)
- 전자기 텐서의 dual\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]\[\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\]
전류 4-vector
- 미분형식으로 표현하면,
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)
맥스웰 방정식의 미분형식 표현
- 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다\[dF=0\] (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))\[d{\star F}=\star J\] (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
- 단위는 \(\mu_0 \varepsilon_0=c=1\) 이 되도록 선택
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach