푸리에 변환

개요

• 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\), 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의\[\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\]

유한아벨군의 경우

• \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\[\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\] 여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

• 가우스 합에의 응용
• 유한아벨군과 이산푸리에변환 항목에서 다루기로 함

푸리에변환

• 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}^n, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의

\[\hat{f}(\mathbf{\xi}) := \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{- 2\pi i \mathbf{x}\cdot \mathbf{\xi}}\,d\mathbf{x}\]

1차원 푸리에 변환의 예

\[ \begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{\alpha \left(-x^2\right)} & \frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{\pi ^2 \xi ^2}{\alpha }}}{\sqrt{\alpha }} \\ e^{i \pi \left(\tau x^2+2 x z\right)} & \frac{e^{-\frac{i \pi (z-\xi )^2}{\tau }}}{\sqrt{-i \tau }} \end{array} \]

2차원 푸리에 변환의 예

\[ \begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)} & \frac{2 e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}}}{\sqrt{3} t} \end{array} \]

멜린 변환

• \(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의\[\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\]
• 감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
• ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
• 멜린-반스 적분

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 유한군의 표현론
• 순환군의 표현론
• 포아송의 덧셈 공식
• 라플라스 변환

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDcyMWVlNzQtNTMwYi00MDRjLWI2NjQtNWFlZjFmZGM1YjE0&sort=name&layout=list&num=50

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/푸리에변환
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

관련기사

• [생활속과학원리찾기푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]
  • 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25
• [사이언스 21(119)푸리에 급수]
  • [1]전자신문, 2006-9-11

메타데이터

위키데이터

• ID : Q6520159