아벨-야코비 정리

개요

• 정의
• \(X\) : 종수가 \(g\)인 컴팩트 리만 곡면
• \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 \(\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}\)
• \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form \(\omega_1,\cdots,\omega_{g}\), 여기서 K는 X의 canonical bundle
• 각 곡선 \(\gamma_{j}\)에 대하여, \(\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g\)는 rank가 2g인 격자 \(\Lambda\)를 생성
  • \(\Omega^{1,0}\cong H^0(X, K)\), \(\Omega^{1,0}\) : space of holomorphic differential 1-forms. 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)
• 아벨-야코비 사상 \(u \colon X \to J(X)\)를 다음과 같이 정의함 \[u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda\]

• u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다
• u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다
• u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다
• 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다

야코비안

• \(J(X)=\mathbb{C}^g/\Lambda\)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Gmira, Seddik. “Abel-Jacobi Theorem.” arXiv:1507.05345 [math], July 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05345.
• http://www.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf
• http://modular.math.washington.edu/projects/kleinerman_99paper.pdf

관련된 항목들

• 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map
• Jacobi inversion problem. E.D. Solomentsev (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Jacobi_inversion_problem&oldid=11287

메타데이터

위키데이터

• ID : Q4666729

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'abel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'jacobi'}, {'LEMMA': 'map'}]