"근의 공식과 라그랑지 resolvent"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 13일 (금) 17:07 판

방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
\(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
\(u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\), \(v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\) 라 두면, 다음이 성립한다
\(u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\)
\(uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\)
따라서 u,v는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
\(x+\omega y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}\)
\(x+\omega y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">3차 방정식의 근의 공식</h5>
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+*  방정식 <math>t^3+p t+q=0</math> 의 해를 <math>x,y,z</math>라 하자<br>
+* <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다<br>
+* <math>u=\left(x+\omega  y+\omega ^2 z\right)^3</math>, <math>v=\left(x+\omega ^2 y+\omega  z\right)^3</math> 라 두면, 다음이 성립한다<br><math>u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q</math><br><math>uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3</math><br>
+*  따라서 u,v는 방정식 <math>x^2+27q x-27 p^3=0</math>의 해가 되며, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다<br>
+* <math>x+\omega  y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}</math><br><math>x+\omega  y+\omega ^2 z=\sqrt[3]{u}</math><br>