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* (정리)<br><math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)</math><br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br> | * (정리)<br><math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)</math><br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br> | ||
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* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br><math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math><br> 의 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br> | * [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br><math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math><br> 의 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br> | ||
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| − | ==초기하급수 형태의 표현 | + | ==초기하급수 형태의 표현== |
* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]의 오일러 공식<br><math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math><br> | * [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]의 오일러 공식<br><math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math><br> | ||
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* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] | * [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] | ||
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<math>\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}</math> | <math>\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}</math> | ||
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]] | * [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]] | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMExwT1RSUVpBa0U/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMExwT1RSUVpBa0U/edit | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* [http://books.google.com/books?id=lyqDSjLY6zEC Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory]<br> | * [http://books.google.com/books?id=lyqDSjLY6zEC Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory]<br> | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183533964&page=record Missed opportunities]<br> | * [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183533964&page=record Missed opportunities]<br> | ||
** Freeman J. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652. | ** Freeman J. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652. | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:14 판
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개요
- 푸앵카레 상반평면에서 정의된 복소함수
- 무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
\(q=e^{2\pi i\tau}\)
- 모듈라 성질을 기술하기 위해 데데킨트 합이 필요
- 자연수의 분할수(integer partitions) 의 연구에 중요한 역할
- 모듈라 성질은 분할수의 생성함수(오일러 함수)를 이해하는데 중요
모듈라 성질
- (정리)
\(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
- 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
\(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
여기서,
\(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합
유리수점(cusp) 근처에서의 변화
(정리)
\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\to 0\) 일 때,
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})=\sqrt{\frac{2\pi}{t}}\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24t})\)
(증명)
\(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고 \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
임을 증명하였다. ■
더 일반적으로 \(h,k\)가 서로 소인 자연수일때
\(q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 이면
\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
이 성립한다. 여기서 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합
세타함수 형태의 표현
- 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
의 양변에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)
초기하급수 형태의 표현
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러 공식
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
- \(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
판별식함수
- 판별식 (discriminant) 함수
- 에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이다
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)
special values
\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)
\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)
\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)
관련된 항목들
- 분할수
- 라마누잔의 class invariants
- 하디-라마누잔 분할수 공식
- discriminant 함수
- 수학사연표
- Chowla-셀베르그 공식
- 분할수의 생성함수(오일러 함수)
- 자코비 세타함수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMExwT1RSUVpBa0U/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function
- http://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=dedekind+eta
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련도서
- Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory
- Tom M. Apostol, 1990
관련논문
- Missed opportunities
- Freeman J. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652.
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
\(q=e^{2\pi i\tau}\)
\(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
\(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
여기서,
\(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
의 양변에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function
- http://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=dedekind+eta
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련도서
- Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory
- Tom M. Apostol, 1990
관련논문
- Missed opportunities
- Freeman J. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652.