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2012년 7월 23일 (월) 05:59 판

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기호
  • \(K\) 수체
  • \(C_K\)  ideal class group

 

 

개요
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  • 예
  • 전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다
  • \(s=1\) 에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다
    \( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
  • \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다
    \( \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\)

 

 

함수방정식
  • 리만제타함수 의 함수방정식
    \(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\)
    \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
  • 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉  \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
  • 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립
    \(\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\)
    \(\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\)

 

 

부분제타함수
  • 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
    \(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\)
  • 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\)
  • 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
    \(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)

 

 

예

 

 

special values

 

 

 

Klingen-Siegel 정리

 

 

 

Zagier, Bloch, Suslin
  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
    \(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
    여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
    D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
    \(a\sim b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함

 

 

 

 

역사

 

 

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